不可以的，在2021年的芒种节气当天是不可以订婚的。
2021年芒种当天的黄历所宜事项如下：
开光 求嗣 出行 冠笄 嫁娶 伐木 架马 开柱眼 修造 移徙 入宅 开市 交易 立券 安香 出火 挂匾 起基 修造 开生坟 合寿木 入殓 除服 成服 移柩 安葬
从上面的所宜事项中可以看得出来，当天的所宜事项虽然说是比较的多的，但是当天并没有适合订婚的选项，所以则是不建议在2021年芒种当天订婚的。

2021年芒种节气的时间为：
农历 二零二一年 四月 廿五 (阴历)；公历 2021年6月5日 星期六 双子座 (阳历)
2021年芒种前后适合订婚的日子推荐如下：
公历 2021年6月1日 星期二 双子座 (阳历)；农历 二零二一年 四月 廿一 (阴历)
公历 2021年6月3日 星期四 双子座 (阳历)；农历 二零二一年 四月 廿三 (阴历)
公历 2021年6月7日 星期一 双子座 (阳历)；农历 二零二一年 四月 廿七 (阴历)
公历 2021年6月10日 星期四 双子座 (阳历)；农历 二零二一年 五月 初一 (阴历)
公历 2021年6月11日 星期五 双子座 (阳历)；农历 二零二一年 五月 初二 (阴历)
公历 2021年6月13日 星期日 双子座 (阳历)；农历 二零二一年 五月 初四 (阴历)
公历 2021年6月16日 星期三 双子座 (阳历)；农历 二零二一年 五月 初七 (阴历)
公历 2021年6月17日 星期四 双子座 (阳历)；农历 二零二一年 五月 初八 (阴历)